Fragen

Prof. Duma meinte gleich bei der Begrüßung, dass ich doch sicher nichts dagegen hätte, wenn er gleich mittendrin im Kurs einsteigen würde. Statt der erwarteten Fragen zu den Strukturen wie Halbring, Ring und s-Algebra, zu Messbarkeit und Maßräumen ging es sofort mit den Zufallsvariablen los.

• Definition und Eigenschaften einer Zufallsvariablen
• Verteilung einer Zufallsvariablen - Definition des Bildmaßes
• Definition und Eigenschaften der Momente, Bedeutung von Erwartungswert und Varianz
• Tschebyscheffsche Ungleichung - Rückführung auf Markoffsche Ungleichung und Beweis der Markoffschen Ungleichung
• Stochastische Unabhängigkeit
• Kovarianz und Korrelation - Definition und Eigenschaften
• Integration in Produktmaßräumen - Fubinische Sätze
• Satz von der monotonen Konvergenz und Satz von der majorisierten Konvergenz
• Definition der Faltung, Formel für die Verteilungsfunktion der Faltung

Eindruck

In gewohnt menschlicher und humoriger Weise wurde ich von Prof. Duma zur Prüfung begrüßt. Statt einem langsamen Start mit Fragen zum Aufbau des Kurses und wie der Stoff darin entwickelt wird (wie er sonst wohl in den meisten Prüfungen zur Wahrscheinlichkeitstheorie beginnt), "durfte" ich gleich mittenrein ins kalte Wasser springen. Nachdem ich mich etwas warm geredet hatte, lief die Prüfung jedoch gänzlich komplikationslos. Prof. Duma stellte kaum Fragen, sondern gab nur wenige Stichworte vor, zu denen ich dann alles erzählen sollte, was ich dazu wüßte. Wie ich auch schon in früheren Prüfungen bei Prof. Duma feststellen konnte, ist es ihm wichtig, dass man sich im Stoff bewegen kann und Querbezüge herstellt. In der Regel ist die Kenntnis der Aussagen von Sätzen wichtiger als die von Beweisdetails, aber zu wichtigen Sachverhalten sollte man den Beweis exakt notieren können (Beispiel: Markoffsche und Tschebyscheffsche Ungleichung).

Als Prüfer ist Prof. Duma wirklich uneingeschränkt zu empfehlen.

Viel Erfolg!

Fragenkatalog

In der Prüfungsvorbereitung habe ich mir zu allen relevanten Kurseinheiten einen Fragenkatalog aufgestellt, anhand dessen ich mir den Stoff eingeprägt habe. Vielleicht ist dieser Fragenkatalog ja auch für andere hilfreich:

1. Kurseinheit

• Wie lautet die Definition der Begriffe Zufallsexperiment, Ausgangsraum, Elementarereignis, Ereignissystem?
• Was versteht man unter dem limes inferior bzw. superior?
• Was bedeutet isotone bzw. antintone Konvergenz?
• Was ist ein diskreter W-Raum?
• Was ist eine W-Funktion?
• Beispiele diskreter Verteilungen

2. Kurseinheit

• Was ist ein Halbring, ein Ring, eine s-Algebra?
• Was versteht man unter einem Messraum?
• Wie erhält man zu einem Mengensystem eine s-Algebra?
• Was versteht man unter der Borelschen Algebra? Wie wird sie erzeugt? Gibt es weitere Möglichkeiten der Erzeugung?
• Was versteht man unter dem System messbarer Rechtecke?
• Was versteht man unter einem W-Raum?
• Wie ist ein Maß definiert?
• Wann spricht man von einem Maßraum?
• Was ist der Unterschied zwischen einem Maß und einem Inhalt?
• Wann hei¼t ein Ma¼ endlich bzw. s-endlich?
• Was versteht man unter einem Punktmaß?
• Wie ist ein Zählmaß definiert?
• Was besagen die beiden Fortsetzungssätze?
• Wie ist das Borel-Lebesgue-Maß definiert?

3. Kurseinheit

• Wie ist eine Verteilungsfunktion definiert? Welche Eigenschaften muss sie haben?
• Wie erhält man das zu einer Verteilungsfunktion gehörige Maß? Ist diese Zuordnung eindeutig?
• Was versteht man unter der Urbildabbildung? Welche Eigenschaften hat sie?
• Was versteht man unter A-A'-messbar?
• Wie ist die Messbarkeit einer Produktabbildung definiert?
• Wie überträgt sich ein Maß mittels einer messbaren Abbildung?
• Wie nennt man das Bildmaß eines W-Maßes?
• Wie beweist man die s-Additivität eines Bildmaßes?

4. Kurseinheit

• Was versteht man unter einer Elementarfunktion?
• Wie berechnet sich das Integral einer Indikatorfunktion?
• Wie ist das Integral einer nicht negativen messbaren Funktion definiert?
• Welche wichtigen Eigenschaften hat das Integral?
• Welche Aussage macht der Satz von der monotonen Konvergenz?
• Unter welchen Bedingungen nennt man eine messbare Funktion integrierbar bzw. quasiintegrierbar?
• Wie definiert man das Integral über einer Teilmenge des Ausgangsraums?
• Was bedeutet m-f.ü.?
• Was gilt für das Integral m-f.ü.-gleicher Funktionen?
• Was bedeutet es für die Funktion, wenn das Integral über diese Funktion den Wert 0 annimmt?
• Unter welcher Bedingung kann aus der Relation zweier Funktionsintegrale auf die Relation der Funktionen geschlossen werden?
• Was lässt sich über die Integration bzgl. des Bildmaßes sagen?
• Wie lautet die Beziehung, wenn man das Integral über eine Menge A bildet?
• Was besagt der Satz von der majorisierten Konvergenz?

5. Kurseinheit

• Was versteht man unter einer Dichte?
• Beweisen, dass durch das Integral über eine Dichtefunktion ein Maß definiert wird
• Warum spricht man von einer - und nicht der - Dichte?
• Wann heißt ein Maß m-stetig?
• Was besagt der Satz von Radon-Nikodym?
• Wie ist der Erwartungswert einer ZV definiert?
• Wann existiert der Erwartungswert einer ZV?
• Welche Eigenschaften hat der Erwartungswert?
• Was lässt sich über den Erwartungswert in Bezug auf das Bildmaß aussagen?
• Was versteht man unter dem k-ten (zentralen) Moment einer ZV?
• Wie ist die Varianz einer ZV definiert?
• Was bedeutet der Begriff Standardabweichung einer ZV?
• Was besagt der Verschiebungssatz? Beweis?
• Wie kann man die Varianz anschaulich deuten?
• Welche bedeutenden Ungleichungen gibt es?
• Wie ist die Kovarianz definiert?
• Was versteht man unter einem Korrelationskoeffizienten?
• Welches sind wichtige Eigenschaften der Kovarianz bzw. der Korrelation?
• Wie lautet die Kovarianzungleichung? Wie wird sie bewiesen (Idee)?
• Was besagt die Gleichung von Bienaymé?

6. Kurseinheit

• Wie ist der Schnitt einer Menge aus W₁ x W₂ definiert?
• Welche Eigenschaften hat ein solcher Schnitt?
• Welche Rechenregeln gelten für Schnitte?
• Was versteht man unter Schnittmaßen?
• Was kann man zu Messbarkeit und Integral von Schnittmaßen sagen?
• Wie ist das Produktmaß definiert?
• Was versteht man unter einem Produktmaßraum?
• Was besagt der 1. Fubinische Satz?
• Welche Voraussetzungen muss die zu integrierende Funktion erfüllen?
• Wie sieht die Bedingung beim 2. Fubinischen Satz aus?
• Wie werden die Marginaldichten zur gemeinsamen Verteilung zweier ZVen, die eine Dichte haben, bestimmt?
• Wie ist diestochastische Unabhängigkeit von ZVen definiert?
• Wie charakterisiert man die stochastische Unabhängigkeit?
• Was kann man zur Übertragung der stochastischen Unabhängigkeit durch messbare Funktionen sagen?
• Was gilt für den Erwartungswert stochastisch unabhängiger ZVen?
• Wie ist das Faltungsprodukt definiert?
• Wie sieht die Verteilung der Summe zweier unabhängiger ZVen aus?