Fragen

Wie schon bei der Prüfung in Lineare Algebra 1 ging es mit der Frage, mit welchem Themengebiet ich denn anfangen wolle, los. Ich entschied mich für die Jordan'sche Normalform.

• Wann ist eine Matrix A aus M_n,n(K) diagonalisierbar?
  • Matrix A ist diagonalisierbar, wenn das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt, wobei die geometrische Vielfachheit gleich der algebraischen Vielfachheit ist.
• Was versteht man unter dem Minimalpolynom einer Matrix?
  • Normiertes Polynom kleinsten Grades, das 0 ergibt, wenn man die Matrix einsetzt. Ich erwähnte, dass ein solches Polynom stets existiert, da die Menge der Matrizen I, A, A², ... Aⁿ² linear abhängig ist und somit eine nicht triviale Linearkombination der 0 existiert. Der Satz von Cayley-Hamilton schränkt den Grad auf n ein.
• Welcher Zusammenhang besteht zwischen dem Minimalpolynom und dem charakteristischen Polynom?
  • Das Minimalpolynom teilt das charakteristische Polynom und das charakteristische Polynom teilt das in die n-te Potenz erhobene Minimalpolynom. Daraus folgt, dass beide die gleichen irreduziblen Faktoren haben.
• Welche Bedeutung haben die Nullstellen des charakteristischen Polynoms?
  • Eigenwerte der Matrix.
• Was sind Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix?
  • Wenn für v ungleich 0 gilt: Av = lambda v, dann ist lambda Eigenwert von A und v Eigenvektor zum Eigenwert lambda.
• Was ist eine nilpotente Matrix?
  • Es gibt ein m mit A^m=0 und A^m-1 ungleich 0.
• Wie erkennt man, dass eine Matrix nilpotent ist?
  • Eine Matrix ist genau dann nilpotent, wenn das charakteristische Polynom Tⁿ ist. Da der Beweis dieses Satzes in fast jeder Prüfung gefordert zu sein scheint, habe ich ihn auch ausführlich geschildert.
• Wie sieht denn die Normalform einer nilpotenten Matrix aus?
  • N(p), wobei p eine Partition von n ist.
• Wie bestimmt man denn p?
  • p ist die duale Partition zur Rangpartition der Matrix, die man aus der Filtrierung gewinnen kann.
• Wie sieht die Jordan'sche Normalform einer Matrix aus?
  • Die Normalform besteht aus Jordanblöcken der Gestalt J(lambda,N(p)).
• Wie lautet der Hauptsatz über Jordan'sche Normalformen?
  • 1) Die Jordan'schen Normalformen ähnlicher Matrizen stimmen bis auf die Reihenfolge der Jordanblöcke überein.
    2) Eine Matrix ist genau dann ähnlich zu einer Jordan'schen Normalform, wenn ihr Minimalpolynom in Linearfaktoren zerfällt.
• Wie sieht der Beweis des Hauptsatzes aus?
  • Beweisskizze ausführlich geschildert. (u.a. Bestimmung des charakteristischen Polynoms, Bestimmung der Nullstellen, Bestimmung der Rangpartitionen - und der dazu dualen Partitionen - der verallgemeinerten Eigenräume)
• Welche Eigenschaft haben die verallgemeinerten Eigenräume?
  • Sie sind f-invariant; V lässt sich als direkte Summe der verallgemeinerten Eigenräume darstellen; die verallgemeinerten Eigenräume können unabhängig voneinander betrachtet werden.
• Was versteht man unter der Jordanzerlegung einer Matrix?
  • Es gibt Matrizen A_d und A_n, so dass A = A_d + A_n und A_d A_n = A_n A_d. Durch letztere Eigenschaft ist die Zerlegung eindeutig bestimmt.
• Was haben Matrizen mit Bilinearformen zu tun?
  • Zunächst habe ich die Definition von Bilinearformen angegeben, sodann habe ich erwähnt, dass die Dimension von B(V) n² ist und damit B(V) isomorph zu M_nn(K). Daraus ergibt sich, dass es eine Matrixdarstellung zu jeder Bilinearform gibt. Wenn B=(v₁, ... v_n) eine Basis von V ist, so ist M_B(beta)=(beta(v_i,v_j)).
• Was versteht man unter Kongruenz?
  • Wenn B und C Basen von V sind und P die invertierbare Matrix, die den Basiswechsel beschreibt, dann gilt M_C(beta) = P^T M_B(beta) P.
• Welche Arten von Bilinearformen kennen Sie?
  • Ich erwähnte alternierende, schiefsymmetrische und symmetrische Bilinearformen. Ich erläuterte den Zusammenhang zwischen alternierenden und schiefsymmetrischen Bilinearformen und beschrieb die Normalform.
• Wie sieht denn die Normalform einer symmetrischen Bilinearform aus?
  • Diagonalmatrix. Falls K der Körper der reellen Zahlen ist, gibt es eine eindeutige Normalform, die 1, -1 und 0 auf der Diagonalen hat. Der Trägheitssatz von Sylvester besagt, dass die Normalformen einer symmetrischen Bilinearform zu verschiedenen Basen die gleiche Anzahl positiver und negativer Diagonaleinträge haben.
  
  ... und damit war dann die Zeit auch schon rum.

Eindruck

Die Prüfung verlief in angenehmer lockerer Athmosphäre. Da hitze- und urlaubsbedingt meine Vorbereitung auf die Prüfung etwas beeinträchtig gewesen war, war ich allerdings doch etwas angespannter als bei meiner ersten Prüfung bei Frau Prof. Unger. Gerade zu Beginn der Prüfung hatte ich etwas Mühe, in Schwung zu kommen, so dass es sehr hilfreich war, dass Frau Prof. Unger kleine Hinweise oder Stichworte gab. In der Benotung hat sich das aber erfreulicherweise nicht negativ ausgewirkt. Als Prüferin ist Frau Prof. Unger uneingeschränkt zu empfehlen.

Viel Erfolg!