Fragen

Nach ein paar einleitenden persönlichen Worten ging es alsbald mit der Frage, mit welchem Themengebiet ich denn anfangen wolle, zur Sache. Ich entschied mich für Vektorräume und lineare Abbildungen.

• Wie ist ein Vektorraum definiert?
  • Nicht-leere Menge V, Addition und Skalarmultiplikation und was halt sonst noch dazu gehört.
• Nennen Sie Beispiele für endlich und unendlich erzeugte Vektorräume!
  • Endlich erzeugt: Kⁿ, M_m,n[K]
    Unendlich erzeugt: K[T]
• Was versteht man unter einem Erzeugendensystem eines Vektorraums V?
  • Ein Erzeugendensystem ist eine Menge von Vektoren aus V, den den Vektorraum V aufspannen. D.h., jedes Element des Vektorraums lässt sich als Linearkombination von Vektoren des Erzeugendensystems darstellen.
• Was ist eine Basis?
  • Eine Menge von Vektoren, die linear unabhängig sind und ein Erzeugendensystem bilden.
• Was bedeutet lineare Unabhängigkeit?
  • Der Nullvektor ist nur als triviale Linearkombination darstellbar.
• Wie sieht das denn in einem unendlichdimensionalen Vektorraum aus?
  • Wenn I die Indexmenge einer Basis ist, dann gilt für jede endliche Teilmenge J, dass der Nullvektor ist nur als triviale Linearkombination der dadurch ausgewählten Basisvektoren darstellbar ist.
• Was versteht man unter der Dimension eines Vektorraums?
  • Die Anzahl der Vektoren jeder Basis.
• Was bedeutet denn das Austauschlemma?
  • Wenn man eine Basis eines Vektorraums gegeben hat, kann man einen Basisvektor gegen einen beliebigen Vektor (ungleich dem Nullvektor) austauschen.
• Kann man bei gegebenem Vektor v jeden beliebigen Basisvektor austauschen?
  • Nein, nur gegen solche, die in der Linearkombination von v mit Koeffizienten ungleich Null vorkommen.
• Zählen Sie alle Dimensionsformeln auf, die Sie kennen!
  • Dimensionsformel für Unterräume: dim(U) <= dim(V)
    Dimensionsformel für Summe und Durchschnitt: dim(U+V) = dim(U) + dim(V) - dim(U geschnitten V)
    Dimensionsformel für Faktorräume: dim(V/U) = dim(V) - dim(U)
    Dimensionsformel für Abbildungen: dim(Kern(f)) + dim(Bild(f)) = dim(V)
    Dimensionsformel für Homomorphismenräume: dim(Hom_K(V,W)) = dim(V) * dim(W)
• Können Sie welche davon beweisen?
  • Beweisskizzen zu den ersten beiden Formeln.
• Wann heisst eine Abbildung linear?
  • Sei f eine Abbildung von V nach W. Für Vektoren v und w aus V und ein Körperelement a gilt:
    f(v+w) = f(v) + f(w)
    f(av) = af(v)
• Geben Sie ein Beispiel für eine lineare und eine nicht-lineare Abbildung an!
  • Sei f Abbildung von IR nach IR.
    Linear: f(x) = 2x
    Nicht-linear: f(x) = x²
• Wie kann man eine Abbildung durch eine lineare Abbildung darstellen?
  • Definition der zugehörigen Matrix _BM_C(f).
• Was besagt der Homomorphiesatz?
  • f Abbildung von V nach W. Die Vektorräume V/Kern(f) und Bild(f) sind isomorph.
• Wie ist die Abbildung von V/Kern(f) nach Bild(f) definiert?
  • f^quer(v+Kern(f)) = f(v)
• Was versteht man unter dem Dualraum zu einem Vektorraum V?
  • V^* = Hom_K(V,K). Definition der Basis.
• Wie ist denn die duale Abbildung definiert?
  • f^* Abbildung von W^* nach V^* definiert als f^*(w^*) = w^* ° f
• Wie sind Determinanten definiert?
  • Leibnitz-Formel erläutert.
• Wie kann eine Determinante berechnet werden?
  • Zunächst waren die Sonderformen gefragt: Nullmatrix, Nullzeile- oder spalte, gleiche Zeilen oder Spalten, Zeile oder Spalte Vielfaches einer anderen, Diagonalmatrix, obere oder untere Dreiecksmatrix.
• Wie lässt sich eine Determinante über einem Ring R konkret berechnen?
  • Laplace-Entwicklung nach einer Zeile oder Spalte.
• Woraus folgt die Laplace-Entwicklung?
  • Folgerung aus dem Adjunktensatz im Detail beschrieben.
• Wie lautet der Adjunktensatz?
  • A A^Ad = A^Ad A = det(A) I_n
• Was folgt noch aus dem Adjunktensatz?
  • Bestimmung der Inversen einer Matrix. Herleitung beschrieben.
    Cramersche Regel. Herleitung beschrieben.

Eindruck

Die Prüfung verlief in sehr angenehmer lockerer Athmosphäre. Ich bin bei einer Prüfung selten so entspannt gewesen. Wenn man mal nicht gleich weiß, worauf eine Frage hinausläuft, gibt Frau Prof. Unger hilfreiche ergänzende Hinweise. Kleinere Schwächen (ich hatte etwas Mühe mit der Definition der linearen Unabhängigkeit in unendlichdimensionalen Vektorräumen) schlagen sich in der Benotung nicht nieder. Als Prüferin ist Frau Prof. Unger uneingeschränkt zu empfehlen.

Viel Erfolg!