Fragen

• Definieren Sie den Begriff Stetigkeit!
  • e-n₀-Kriterium, Cauchy-Kriterium, Folgenkriterium
• Was versteht man unter gleichmäßiger Stetigkeit? Geben Sie Beispiele an!
  • Definition, Beispiele: y=x, y=x² auf einem kompakten Intervall
• Wenn eine Funktion differenzierbar ist, unter welchen Bedingungen ist sie dann gleichmäßig stetig?
  • Ableitung muß beschränkt sein
• Was sind Potenzreihen? Welche Aussage kann man über den Konvergenzradius machen?
  • Definition, Satz von Hadamard
• Was bedeutet lim sup? (im Satz von Hadamard)
  • Limes superior ist der größte Häufungspunkt
• Welche Eigenschaften haben Potenzreihen?
  • stetig, beliebig oft stetig differenzierbar
• Formulieren Sie die Aussage des 1. Mittelwertsatzes und beweisen Sie ihn!
  • Beweis über den Satz von Rolle
• Welche Integrationsmethoden kennen Sie?
  • partielle Integration (abgeleitet aus der Produktregel der Differentialrechnung)
  • Substitution (abgeleitet aus der Kettenregel der Differentialrechnung), findet ihre Erweiterung für den Rⁿ im Transformationssatz
• Wie ist Differenzierbarkeit im Rⁿ definiert?
  • Matrix der partiellen Ableitungen
• Spielt bei höheren partiellen Ableitungen die Reihenfolge eine Rolle?
  • Nein, wegen Satz von H.A. Schwarz
• Gilt der Satz immer?
  • Nein, nur wenn alle partiellen Ableitungen existieren
• Unter welchen Bedingungen hat eine Funktion im Rⁿ ein lokales Extremum?
  • notwendig: f'(a)=0; hinreichend: die Eigenwerte der Matrix der 2. Ableitungen sind alle größer oder alle kleiner als 0, bei gemischt positiven und negativen Eigenwerten liegt kein Extremum vor; ist ein Eigenwert 0, so ist die Funktion weiter zu untersuchen

Eindruck

Zu Beginn meiner Vorbereitung auf die Prüfung hatte ich ein persönliches Treffen mit Prof. Duma, das ich als sehr nützlich empfand. In der Prüfung läßt er einem viel Raum, den Verlauf der Prüfung mitzugestalten, indem man auf Zusammenhänge hinweist. Als Prüfer ist Prof. Duma uneingeschränkt zu empfehlen.

Viel Erfolg!