Vordiplomsprüfung Lineare Algebra II

Vordiplomsprüfung Lineare Algebra II

Prüfer : Prof. Duma

Datum : 30.03.1999

Note : 1.7

Determinanten :

Ich stelle mich mal dumm und tue so als würde ich nichts über Determinanten wissen. Erklären Sie mal.

Alternierende Multilinearform, Determinatenfunktion, Leibniz, Laplace, Berechnungsverfahren, Cramersche Regel, Zusammenhang LGS, Invertierbarkeit, Determinate

Wo tauchen Bilenearformen noch auf ?

Skalarprodukt

Skalarprodukte und Normen :

Was versteht man unter einem Skalarprodukt ?

Bilinearität, Symmetrie, Positiv definit bei euklidischem Skalarprodukt.

Wie ist die Norm definiert ?
Wie hängen Skalarprodukt und Norm zusammen ? Wird die Norm und / oder das Skalarprodukt immer induziert ?
Nennen Sie Beispiele für Skalarprodukte und Normen.

Diagonalisierbarkeit / Eigenwerte / Eigenvektoren / Jordansche Normalform :

Erzählen Sie uns etwas über Normalformen.

Diagonalmatrizen, Dreiecksmatrizen, Diagonalkästchenmatrizen

Folgende Begriffe fielen : Ähnlichkeit, Änlichkeitsrelation der Abbildungmatrizen (!), Eigenvektoren, Eigenwerte, Eigenraum, algebraisch abgeschlossen (!!!), Drehmatrizen (keine Ewe in R), charakteristisches Polynom, Zusammenhang Eigenvektoren und charakteristisches Polynom, Minimalpolynom

Wann ist ein Matrix diagonalisierbar ?

Wenn das charakteristische Polynom zerfällt und die Dimension der Eigenräume mit der Ordnung der entsprechenden Nullstelle des char. Polynoms (EW) übereinstimmt.

Was macht man, wenn nicht diagonalisierbar ?

Triangulieren, Jordansche Normalform

Wie sieht die Jordansche Normalform aus ?

Existiert immer, Eigenwerte stehen in Diagonale, nilpotenter Teil, char. Polynom, Minimalpolynom.

Herr Prof. Duma ist ein sehr netter Prüfer. Die Prüfung ist in einer angenehmen Atmosphäre.

Man sollte bei der Vorbereitung versuchen, die Themen so zu verstehen, daß man sie in enfacher Form und auf den Punkt gebracht wiedergeben kann. Außerdem sollte man auf weitergehende Verständnisfragen vorbereitet sein. Und Beispiele merken.

Sascha Hossdorf