Ich brachte zunächst den Goursatschen Beweis mittels des Bisektionsverfahrens und anschließend den kurzen Beweis mittels des Satzes von Stokes, der allerdings die Stetigkeit der 1. Ableitung einer holomorphen Abbildung verwendet. [Dass eine holomorphe Funktion unendlich oft differenzierbar ist, darf an dieser Stelle noch nicht verwendet werden, da der Beweis dieser Tatsache (implizit) die allgemeinere Form des Cauchyschen Integralsatzes verwendet.]

- Man kennt eine holomorphe Funktion auf einem (beschränkten) Gebiet, wenn man sie bereits auf dem Rand des Gebietes kennt (also bereits eine schwache Version des Identitätssatzes)

- Ausnahmslos jeder zentrale Satz aus Funktionentheorie I basiert (letztendlich) auf der Cauchyschen Integralformel.

Ich erwähnte noch kurz die inhomogene Cauchysche Integralformel für reell-stetig differenzierbare Funktionen, die sich wiederum mit dem Satz von Stokes beweisen lässt.

Die Entwicklung des Cauchy-Kerns in eine Reihe führt auf die Entwickelbarkeit holomorpher Funktionen in Potenzreihen, also den Ausgangspunkt der Weierstraßschen Funktionentheorie. Aus der Entwickelbarkeit in Potenzreihen folgt natürlich sofort, dass holomorphe Funktionen unendlich oft differenzierbar sind. Ich erwähnte noch den wesentlich eleganteren Beweis mittels der Leibnizschen Regel zur Differentiation komplexer Parameterintegrale.

"Der Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra mit Liouville ist ein Dreizeiler. Ist der Fundamentalsatz deshalb trivial?"

Natürlich nicht, da der Beweis des Liouville die Cauchyschen Abschätzungen für Taylorkoeffizienten benutzt und deren Beweis erfordert wiederum die Cauchysche Integralformel.

Ich kannte zwar einen rein algebraischen, der nur den Zwischenwertsatz aus der Analysis benutzt, aber der war nicht gemeint (was mir klar war.)

Dann der entscheidende Tipp: "Denken Sie an Folgerungen aus dem Residuensatz". Alles klar, natürlich der Satz von Rouché.

"Im Kurs wird ja noch explizit der Cauchysche Integralsatz für Kreisringe bewiesen. Für welchen wichtigen Satz benötigt man den?"

Wie schon mehrfach erwähnt, ist es bei Prof. Duma wichtig, sich völlig frei im Stoff bewegen zu können Steigt man von sich aus in Beweise wichtiger Sätze ein, so lässt er einen gewähren.