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Zentrales Thema der Funktionentheorie: komplexe Differenzierbarkeit
Definition,
äquivalente Aussagen (Cauchy - Riemann) , Wirtinger Ableitungen
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Sätze , die in der komplexen Analysis, nicht aber in IR gelten :
Maximumprinzip,
Offenheitssatz, Liouville, Weierstraß'scher Entwicklungssatz etc.
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Fundamentalsatz der Algebra, Definition und Beweis mit Satz von Liouville,
Beweis
von Liouville (Abschätzung über Taylorkoeffizienten)
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Singularitäten : Definition isolierte Singularität , Typen von Singularitäten
allgemein (hebbar, Pole, wesentliche) mit Beispielen und Charakterisierung
(hebbar: in z0 durch stetige Fkt. Fortsetzbar, Pole: darstellbar als
g(z)/(z-z0)^m
*Zusammenhang
Singularitäten mit Laurentreihen
Definition
Laurentreihe
Singularität
ablesbar aus LR über die Koeffizienten der LR (hebbar: Koeffizienten mit
negativen Indices verschwinden, Pole : bei Pol m.ter Ordnung verschwinden
Koeffizienten mit Index µ=-(m+1), wesentliche: unendliche viele Koeffizienten
mit negativen Indices verschwinden nicht)
*Werteverhalten
/ Konvergenzverhalten bei Singularität in z0 (Pol: Konvergenz gegen unendlich, wesentlich:
fast alle Werte werden angenommen )
*Cauchy
Integralsatz
Definition
und Beweis nach Goursat (komplett)
*Residuensatz
Definition
Residuum, Residuenformel
Erläuterung
Zusammenhang mit LR
Prof.
Duma ist ein sehr netter Prüfer, die Prüfungsatmosphäre sehr entspannt und
locker.
Prüfungs“strategie“:
Zu allen angeschnittenen Themen möglichst ausführlich antworten, Zusammenhänge
darstellen, Beweise von sich aus anbieten, wichtige Definitionen auch formal
korrekt beherrschen .