Prüfungsprotokoll: Algebra II
Prüfer: Prof. Duma
Beisitzer: Dr. Garske

Bewertung: 1,0

Maximales Ideal => Primideal; Umkehrung ist i.A. falsch. Gegenbeispiel angegeben.

Jeder kommutative Ring <> 0 besitzt ein maximales Ideal. Beweis mit Zornschem Lemma.

Chinesischer Restsatz in beliebigen kommutativen Ringen mit 1 (mit Beweis)

Definition Euklidische - , Hauptideal - und faktorielle Ringe.

Zusammenhänge: Euklidische R => Hauptideal R => faktorieller R. Beispiele, daß die umgekehrten Implikationen nicht gelten.

Satz von Gauß: R faktoriell => R[T1,......Tn] faktoriell.

Noethersche Ringe,

R noethersch => R[T] noethersch

Wichtiges Beispiel eines nicht-noetherschen Ringes. Antwort O(IC) [Beweis mit Produktsatz von Weierstraß; hierzu: Ich hatte bei Prof. Duma bereits die Funktionentheorieprüfungen abgelegt. Das Beispiel steht nicht im Kurs.]

B/A Erweiterung kommutativer Ringe. Alle drei äquivalenten Definitionen für den Begriff b aus B ist ganz über A angeben (mit Beweis). Begriff des ganzen Abschlusses angeben.

Ringklassen angeben, die abgeschlossen sind.

Antwort: Faktorielle R und damit automatisch auch Hauptideal-R und euklidische R.

Was ist ein algebraischer Zahlkörper (Aufgesagt) und welche Eigenschaft besitzt der Ring der ganzen algebraischen Zahlen in diesen Körpern L?

Es sind freie Z-Moduln vom Rang [L : Q]

Was sind Dedeking-Ringe, welche besondere Eigenschaft besitzen die Ideale in diesen Ringen und in welcher mathematischen Disziplin spielen diese Ringe eine wesentliche Rolle?

- Def. aufgesagt,

- Jedes Ideal <> 0 ist (bis auf die Reihenfolge eindeutig) als Produkt von Primidealen darstellbar,

- Algebraische Zahlentheorie

Was ist ein einfacher Ring und können Sie aus einem gegebenen Schiefkörper S unendlich viele einfache Ringe konstruieren?

Def. aufgesagt und dann die Ringe aller n x n - Matrizen über S angegeben (n aus IN), Die sind einfach.

Genaue Konstruktion des Tensor-Produkts von Moduln; universelle Eigenschaft.

Diese Prüfung kam mir länger vor als die sonstigen Prüfungen bei Prof. Duma, vielleicht aber nur deshalb, weil Prof. Duma gelegentlich amüsante Zwischenbemerkungen einbrachte. Beim Beweis des Chinesischen Restsatzes meinte er lapidar: "Gut, wenn Sie unbedingt etwas aus der Schulmathematik beweisen wollen." (Na ja, den Spezialfall Z kennt man ja wirklich von der Schule.)