Datum : 20.12.1994
Zeit : 14.00 Uhr

Dauer : 30 Minuten

Prüfer : Prof. Dr. Duma

Note : 2.0

1) Definition eines endlichen Vektorraumes.

Antwort: 2.3.1 zitiert.

2) Was versteht man unter linearer Unabhängigkeit?

Antwort: 3.1.2 zitiert. Linerakombination erläutert 2.6.2.

3) Zu 2) nun ein Beispiel: Sei F der Vektorraum der stetigen Funktionen auf IR. Sei weiter f1(x)=sin2(x) ; f2(x)=sin(x)cos(x) ; f3(x)=cos2(x). Frage: Sind die fi linear abhängig?

Antwort: Diese Frage erwischte mich auf dem falschen Fuß. Ich hatte die Funktionswerte der trig. Funktionen nicht parat und Prof. Duma mußte massive Hilfestellung leisten. Nach einigem Herumprobieren ließ sich dann a1f1(x)+a2f2(x)+a3f3(x)=0 mit a1=a2=a3 notwendig gleich 0 nachweisen.

4) Was versteht man unter der Basis eines Vektorraums?

Antwort: 3.1.8 zitiert. Erzeugendensystem, Span und Dimension erläutert 2.6.12 ; 2.6.6 ; 3.3.3.

5) Wie findet man zu gegebenen Basen B von V und C von W und dem Homomorphismus f:V->W die zugehörige Matrix?

Antwort: 6.1.6 zitiert.

6) Wie findet man zu gegebener Matrix den zugehörigen Homomorphismus?

Antwort: 6.2.1 zitiert.

7) Welche Beziehung besteht zwischen Matm,n(K) und Hom(V,K)?

Antwort: 6.1.11 zitiert.

8) Wie sind die Dimensionen von Hom(V,K) und Matm,n(K)?

Antwort: 6.1.12 zitiert.

9) Warum hat der Vektorraum Matm,n(K) die Dimension m*n?

Antwort: Weil die kanonische Standardbasis des Matm,n(K) aus m*n Matrizeneinheiten -besteht.

10) Schreiben Sie bitte die Cramer'sche Regel auf und beweisen Sie ihre Richtigkeit!

Antwort: 6.5.18 zitiert und gezeigt.

11) Was wissen Sie über Eigenwerte?

Antwort: 7.5.1 - 7.5.5 zitiert.

12) Können Sie beweisen, daß die Eigenwerte von A gerade die Nullstellen des charakteristischen Polynoms sind?

Antwort: Beweis zu 7.5.9 zitiert.

13) Wann heißt A diagonalisierbar und was verbindet die diagonalisierte Matrix mit A?

Antwort: 7.6.1 - 7.6.5 zitiert.

14) Gibt es andere "angenehme" Matrixformen?

Antwort: Jordansche Normalform. Da mir die Definition entfallen war, konnte ich nur anmerken, daß es sich dabei um eine Normalform handelt, bei der nur auf der Hauptdiagonalen und auf der ersten Nebendiagonalen von Null verschiedene Werte (nämlich die Eigenwerte von A und 1) auftreten.

In dieser Prüfung gab es für mich bis auf die trig.-Funktionen kaum Überraschungen. Alle Fragen sind in den mir zugänglichen Vordiplomsprotokollen von Prof. Duma so oder ähnlich gestellt worden. Eine optimale Vorbereitung ist auf diese Weise gut möglich, da man sich auf die 'Essentials' des Kurses konzentrieren kann. Wie in den älteren Protokollen schon des öfteren erwähnt, hat Prof. Duma eine sehr talentierte und didaktisch geschickte Art Prüfungen durchzuführen. Er ist daher als Prüfer wärmstens zu empfehlen und ich kann nur den Satz aus einem früheren Protokoll unterstreichen, wonach ein Kommilitone die Prüfung bei Herrn Duma als die angenehmste unter seinen Vordiplomsprüfungen empfand.

Mit der Benotung war ich angesichts der Aussetzer ( 3 und 14) sehr zufrieden.

V I E L G L Ü C K ! ! !